Discussion:Théorème spectral

conjugué de la matrice S

Pourquoi on a S=conjugué de S dans la première preuve ?

Merci d'avance

Refonte du théorème

L'objectif de la réforme est multiple. Ce théorème, fondamental en algèbre linéaire mérite mieux qu'une simple démonstration de son contenu.

Ajouter un contexte historique, montrant comment différents domaines scientifiques interviennent tour à tour pour faire émerger le théorème en un siècle. L'histoire de ce théorème est emblématique de tout une période de développement de l'algèbre linéaire.

Développer une partie applications (ou usages) pour illustrer la vaste portée de ce résultat, ainsi que la variété des domaines d'application.

Ouvrir une partie généralisations, pour indiquer les différents futurs de ce théorème. La délicate question est celle de la dimension. Est-elle nécessairement finie ? Il faut analyser plus précisément l'usage du mot pour une réponse définitive.

Les conséquences de cette réforme sont multiples :

Déplacer de l'article Valeur propre, vecteur propre et espace propre ce qui revient à celui-ci pour éviter les redites. L'article sur les valeurs propres devrait, à mon gout être très généraliste et ne point autant entrer dans les détails comme c'est le cas à présent. En revanche celui-ci doit être beaucoup plus précis car de nature plus technique.

L'article diagonalisation doit aussi s'harmoniser avec celui ci. Une bonne partie de son contenu devrait être dans cet article et ne pas faire doublon avec Valeur propre, vecteur propre et espace propre.

L'article algèbre linéaire doit traiter tout ce qui ne peut pas l'être ici, mais qui est nécessaire à une compréhension globale : L'unification des différentes méthodes avec un jeu de démonstrations simplifiées sans doublon et ensuite la généralisation qui permet la découverte de nouveaux résultats (je pense surtout à l'analyse fonctionnelle et à Hilbert). Enfin les différentes approches sous-jacentes, souvent conséquence des cultures nationales (analytique pour la France, synthétique au sens de Dhombres pour l'Allemagne, pragmatique et opérationnelle pour l'Angleterre) doivent être explicitées.

Une articulation vers la dimension infinie doit être aménagée. Le nom même du théorème provient de l'analyse fonctionnelle. S'il existe un usage fort de ce terme aussi pour la dimension infinie, je pense qu'il faudra renommer l'article en théorème spectral (dimension finie) et un autre en théorème spectral traitant essentiellement de la dimension infinie. En effet, cette dimension introduit un vaste jeu de nouvelles idées finalement assez différentes du contenu de cet article. Or, il est suffisamment riche ainsi. Jean-Luc W 3 décembre 2007 à 11:20 (CET)

Un article mal nommé

La théorie spectrale fait avant tout référence à une théorie sur les opérateurs dans un Hilbert, le cas de la dimension finie est particulier. L'usage du vocable théorème spectral n'est pas patent, un unique théorème ne suffit pas pour expliciter la situation et le cas fini n'est pas le seul (on trouve théorème spectral pour les opérateurs autoadjoint compact). Il faut renommer cet article Jean-Luc W 3 décembre 2007 à 12:19 (CET)

Je suis pour ma part habitué à théorème spectral, mais j'ai sans doute une vue déformée par l'habitude. En revanche , en première analyse, je souscris aux autres arguements et à la séparation dim finie ou non. Je suis en accord notamment avec ceci : "un unique théorème ne suffit pas pour expliciter la situation". Mais du coup je suis perplexe quant au choix d'un titre. Peps 3 décembre 2007 à 23:33 (CET)

Sollicité par JLW sur ma page de discussions, j'ai suggéré Directions principales d'une quadrique. Touriste ✉ 4 décembre 2007 à 09:55 (CET)

OK, même si ça privilégie le point de vue géométrique, c'est un biais qui personnellement ne me gêne pas... et ça a l'avantage de justifier le parti pris dim finie Peps 4 décembre 2007 à 14:13 (CET)

Privilégier le point de géométrique n'est pas innocent. Je vois deux conséquences directes : il permet une version beaucoup plus didactique de l'article (un peu à l'image de l'article déterminant ou variété, meuh non je ne vise personne). Cette conséquence est à mon sens totalement bénéfique dans un contexte WP. La dimension de vulgarisation ne doit pas être absente de l'article. En revanche, pour respecter une approche de type celle choisie dans l'article déterminant, la vulgarisation ne doit pas être un prétexte à la rigueur. En conséquence, en mi article, je propose de retourner ma veste et de prendre un parti favorisant l'approche algébrique. Les démonstrations sont plus simples plus concises et d'une portée plus générale. Je propose plutôt comme titre axes de symétrie d'une quadrique. Le terme de direction principale ne me semble pas très usitée.Jean-Luc W (d) 5 décembre 2007 à 11:26 (CET)

Je ne suis pas d'accord (on en a déjà parlé in real life) sur l'idée qu'il vaut mieux privilégier le point de vue géométrique sur le point de vue algébrique sous prétexte qu'il serait plus intuitif mais oublions ces différents abstraits pour rester dans le cas concret de cet article.

Ici je n'avais pas l'impression que le titre que je proposais privilégiait nettement la géométrie : pour la quadrique vide $x^{2}+4y^{2}+9z^{2}=-1$, les « directions principales » ne sont pas des objets très visibles sur le sous-ensemble des points de la quadrique... Je continue dès lors à défendre mon titre par rapport au nouveau titre que tu proposes : certes les deux concepts se recoupent dans la plupart des cas, mais diffèrent dans l'exemple que je viens de donner (il n'y a que trois directions principales, alors que toute direction est bien sûr un axe de symétrie). Je pense que l'article doit faire part égale à l'algèbre et à la géométrie, et que ta nouvelle proposition de titre va trop loin dans le souci de faire reposer l'exposition sur une intuition géométrique. Touriste ✉ 5 décembre 2007 à 11:59 (CET)

Ici nous partageons les mêmes points de vue, mon rêve est de privilégier l'aspect géométrique pour le didactisme et algébrique pour la rigueur et la puissance. Au début, il devrait y avoir plus de géométrie, à la fin plus d'algèbre, cela te semble-t-il un acceptable compromis ?

Pour préciser ma pensée, le fait que les directions principales soient des axes de symétrie, et soient généralement les seuls est vrai, mais ça me semble une information importante à leur sujet parmi d'autres, mais pas de façon évidente « la plus » importante. La faire figurer dans le titre, c'est lui donner un poids disproportionné. Touriste ✉ 5 décembre 2007 à 12:01 (CET)

Qu'est ce qu'un axe principal ? un axe dont la direction est un vecteur propre ?

À la limite, pourquoi pas simplement Directions principales qui laisse de côté le point gênant qu'on ne parle que de quadriques de la forme Q(x)=1 et pas de paraboles ou machins dans ce genre. Touriste ✉ 5 décembre 2007 à 12:03 (CET)

Je compte traiter les quadriques dégénérées, c'est pas cher finalement.

Boaf, finalement Réduction des matrices symatriques réelles est peut-être la solution... Touriste ✉ 5 décembre 2007 à 12:04 (CET)

Personnellement je préfère ton ancienne idée, il faut rééquilibrer l'article, cependant j'imagine que c'est faisable. La géométrie est fort utile en début d'article, il faut maintenant amorcer le virage algébrique avec plus d'adresse. C'est surement faisable. Partages-tu mon optimisme ? Jean-Luc W (d) 5 décembre 2007 à 12:19 (CET)

J'ai jeté un œil rapide et suis en fait en désaccord avec pas mal de tes choix, alors entre jouer la mouche du coche sur la page de discussions en disant tout ce avec quoi je ne suis pas d'accord ou te laisser complètement faire, je préfère la deuxième branche de l'alternative.

Pour dire quand même quelque chose, puisque je dois raisonnablement t'intriguer, je suis gêné par l'aspect trop littéraire des parties mathématiques. Je donne un exemple concret : je commence à lire au milieu d'un paragraphe « S une surface quadrique définie par une forme quadratique Ψ ». J'ai vaguement cherché ce que pouvait vouloir dire "définie par une forme quadratique" (ensemble des solutions de Ψ=0 ? ensemble des solutions de Ψ=1 ?) je comprends qu'il faut comprendre "Ψ=1" parce que je connais déjà le sujet, mais ça ne doit pas être limpide pour un lecteur moins au courant. Le théorème "Axe de symétrie et vecteur propre" est-il tout à fait juste ? (extrema ou points critiques ? - quid de l'axe de longueur moyenne pour un ellipsoïde). Cela étant, glisser du calcul différentiel dans cet article, ça me semble relativement du vice, il y a assez à dire sans ça. Enfin tout ça s'ajustera tout seul, et on peut toujours à moyen terme réorganiser les paragraphes. Je te recommande quand même dès le début, parce que c'est galère si on attend, de clarifier très nettement ce que tu appelles quadrique, ce qui nécessite peut-être la réécriture de cet article en amont. Parce que le choix "naïf" qui y a été fait, de considérer seulement l'ensemble des points et non le couple formé de l'ensemble des points et de l'équation, donc de considèrer comme égaux les cercles x^2+y^2=-1 et x^2+y^2=-2, il conduit à plein de galères pour écrire ensuite des énoncés précis. Voilà deux remarques en vrac, je ne veux pas trop te déranger, je repars dans mon coin (où tu peux bien sûr me faire des remarques d'ailleurs, si tu penses utile d'appliquer des mesures de rétorsion après mon intervention assez négative :-)). Touriste ✉ 5 décembre 2007 à 18:23 (CET)

Tu as raison je ne suis pas clair, en fait il fallait penser Ψ = c. Je l'ai dit avant, mais beaucoup de lecteurs réagiront comme toi, les paragraphes doivent être plus indépendant car l'objectif n'est pas de tout lire. Oui, il faut évidemment penser à point critique. Je partage ton avis, le calcul diff est un peu pervers.

Tu as tort de craindre de me déranger. Un regard extérieur est la meilleure solution pour arriver à quelque chose de convenable. Quand j'écris un article, j'insiste une des qualités nécessaire, souvent au détriment d'autres éléments pourtant essentiels. Le meilleur antidote est une relecture d'un contributeur ayant un point de vue différent. Je te propose comme mesure de rétorsion une nouvelle tentative pour répondre à tes critiques. Ta punition : je te condamne à me donner ton avis une fois que cela sera fait. Le deal est-il acceptable ?

J'envisage en fait de dégager les parties techniques vers automorphisme autoadjoint, normal, quadrique, forme quadratique etc... Ces articles sont d'une pauvreté affligeantes. A l'aide d'un traitement plus technique sur les articles connexes, j'imagine pouvoir me diriger vers une rédaction plus littéraire et synthétique sur cet article. Cette approche te semble-t-elle faire sens ?

Encore des commentaires de Touriste

Voilà en vrac quelques commentaires pour la suite de la rédaction :

• Ne pas mélanger la réduction des formes quadratiques avec cet article, les sujets sont différents (sylvester, la réduction de Gauss, le travail de Jacobi doivent être cité uniquement dans la partie historique sur la maturation des idées mais pas dans le corps de l'article. Ne pas être rigoureux sur les limites de l'article ne favorise pas la clarté.
• Evacuer sur les articles techniques les éléments plus mathématiques. Le mélange des genres est douteux.
• La question de privilégier les réels se posent, les complexes sont ils aussi importants ?
• La dimension de calcul numérique est importante. Jean-Luc W (d) 6 décembre 2007 à 12:25 (CET)

la lecture des premières lignes n'est pas assez significative, après les premier paragraphe (si on avait pas déjà une idée de ce qu'est le théorème spectral) on a rien compris ou on ne sait toujours pas de quoi en retourne ce théorème.

on ne voit par exemple pas apparaitre le terme "théorème spectral" avant la ligne qui précède le sommaire.

une première approche même grossière serait appréciable pour tout ceux qui comme moi n'ont pas spécialement envie de lire tout l'article car il dépasse nos compétence.--sigo 14 août 2008 à 11:56 (CEST)

Bernouilli

Serait-ce Bernoulli ?
...ou une coquille de ce coquin de d'Alembert? - va pour "Bernouilli (sic)"

Vérification

Théorème spectral en dimension finie — Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des réels (resp. des complexes) et Φ, Ψ deux formes bilinéaires symétriques (resp. sesquilinéaire) de E tel que Φ soit définie positive. Alors il existe une base B de E orthonormale pour Φ et orthogonale pour Ψ. Dans cette base, les coefficients de la matrice associée à Ψ sont tous réels.

Dans le cas d'un espace vectoriel sur C, il ne faudrait pas plutôt considérer des formes sesquilinéaires hermitiennes ?

Zandr4^[Kupopo ?] 3 juin 2010 à 15:51 (CEST)

Où est passée la définition du théorème spectral ??

Tout est à reprendre dans cet article, du point de vue de la présentation : un lecteur cherchant le « théorème spectral » n'en trouvera même pas une esquisse...--Dfeldmann (d) 31 mai 2012 à 09:29 (CEST)

matrice symétrique => diagonalisable dans une base orthonormée, démo

Bonjour, besoin d'aide pour bien rédiger cette démo !!! Il s'agit de montrer par induction, en diminuant de 1 en 1 la taille de la matrice en extrayant un vecteur propre à chaque étape, qu'une matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée, et que ses valeurs propres sont réelles. Dans l'article il y a déjà une démo similaire pour les endomorphismes, mais je ne la trouve pas très claire, et surtout je trouve que c'est beaucoup plus intuitif et explicite (enfin si la démo est correctement rédigée) avec les matrices.

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Soit une matrice hermitienne $M=M^{H}$ de taille $n\times n$. Soit $f(\Lambda )$ son polynôme caractéristique : $f(\Lambda )=\det(M-\Lambda I)$.

extraction d'un premier vecteur propre

Grâce au théorème fondamental de l'algèbre, ce polynôme possède au moins une racine complexe $\lambda$, ainsi $det(M-\lambda I)=0$ si bien qu'il existe un vecteur $x$ (à coefficients complexes) de norme $||x||^{2}=1$ tel que $(M-\lambda I)x=0$. $x$ est donc un vecteur propre de $M$ associé à la valeur propre $\lambda$.

$Mx=\lambda x$

$x^{H}Mx=\lambda x^{H}x=\lambda ||x||^{2}=\lambda$

$x^{H}M^{H}x=(x^{H}Mx)^{H}=\lambda ^{H}$

sauf qu'on se rappelle que $M=M^{H}$

finalement $\lambda ^{H}=x^{H}M^{H}x=x^{H}Mx=\lambda$

et la valeur propre $\lambda$ est un réel.

décomposition du sous espace complémentaire, et réduction de taille de la matrice

$Vect(x)$ est le sous-espace vectoriel de dimension 1 engendré par $x$. Son complémentaire orthogonal noté $^{\bot }Vect(x)$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$ dont les éléments sont orthogonaux à $x$.

Parce que $M$ est hermitienne, $^{\bot }Vect(x)$ est stable par action de $M$ : Si $<x,y>=0$ (donc si $y\in \ ^{\bot }Vect(x)$ ) alors $<x,My>=<Mx,y>=\lambda <x,y>=0$. On peut donc séparer en deux l'ensemble des antécédents et des images par $M$. Par ce faire, on va utiliser une matrice de passage. Soit $P$ une matrice de passage orthonormée ( ou unitaire en vocabulaire des matrices à coefficients complexes) telle que sa première colonne soit égale à $x$. En notant $e_{1}$ le vecteur $\left({\begin{array}{c}1\\0\\\cdots \end{array}}\right)$ on a $Pe_{1}=x,\ \ e_{1}=P^{H}x$. On pose $A=P^{H}MP$ qui est une matrice qu'on dit congruente à $M$. On a que $A=A^{H}$ et $Ae_{1}=\lambda e_{1}$. Ainsi la première ligne de $A$ (et également la première colonne puisqu'elle est hermitienne) est $\left({\begin{array}{c}\lambda \\0\\\cdots \end{array}}\right)$ :

$A=\left({\begin{array}{lcc}\lambda &0&\cdots \\0&\left(A'\right)&\\\cdots &&\end{array}}\right)$

Remarquons que l'ensemble des antécédents et des images par $A$ sont également séparés en deux : $^{\bot }Vect(e_{1})$ est stable par action de $A$.

On peut alors écrire que $\det(A-\Lambda I)=(\lambda -\Lambda )\det(A'-\Lambda I)$.

appel récursif

On reprend alors tout le raisonnement depuis le début avec $A'$ à la place de $M$, une matrice de taille $(n-1)\times (n-1)$.

utilisation des vecteurs propres obtenus par ces appels récursifs

Ceci nous donnera des vecteurs propres et des valeurs propres de $A'$. Soit $y'$ un vecteur propre de $A'$, associé à la valeur propre $\gamma$, alors $y=\left({\begin{array}{c}0\\y'\end{array}}\right)$ est un vecteur propre de $A$, et $Py$ est un vecteur propre de $M$, toujours associé à la valeur propre $\gamma$, que l'on aura montrée être réelle.

$PP^{H}=P^{H}P=I$

$M=PAP^{H}$

$Ay=\gamma y$

$M(Py)=PAP^{H}Py=PAy=\gamma (Py)$

Et puisque $y\in \ ^{\bot }Vect(e_{1})$, on a que $y$ est orthogonal à $e_{1}$, que $Py$ est orthogonal à $x$ donc que les vecteurs propres de $M$ sont orthogonaux à $x$. Et en réfléchissant bien, on arrive à la conclusion que les vecteurs propres de $M$ sont tous orthogonaux entre eux !

Puisque à chaque étape on réduit la taille de notre matrice, au terme du raisonnement par induction on a une matrice de taille $1\times 1$ ce qui nous donne un vecteur propre et une valeur propre triviale. Puis on reprend toutes les matrices de passages intermédiaires, on calcule les vecteurs propres de chaque matrice intermédiaire, et à la fin on a $n$ vecteurs propres pour notre matrice $M$ de départ.

CQFD : une matrice hermitienne est diagonalisable dans une base orthonormée (unitaire) et ses valeurs propres sont réelles.

$M=U\Lambda U^{H}$

où $M\in \mathbb {C} ^{n\times n},\ \ \ U\in \mathbb {C} ^{n\times n},\ \ \ \lambda \in \mathbb {R} ^{n},\ \ \ M=M^{H},\ \ \ UU^{H}=U^{H}U=I,\ \ \ \Lambda =diag(\lambda )$

matrice réelle symétrique

Si au départ on a une matrice symétrique à coefficients réels, que se passe-t-il ? Le polynôme caractéristique $\det(M-\Lambda I)$ a au moins une racine complexe, mais heureusement on montre tout de suite que cette racine est en fait réelle. Puis, le vecteur propre associé à cette racine est à coefficients réels. En effet supposons que le vecteur propre $x$ soit à coefficients complexes :

$Mx=\lambda x$

$\sum _{j=1}^{n}M_{i,j}x_{j}=\lambda x_{i}$

$\sum _{j=1}^{n}M_{i,j}\Re (x_{j})=\lambda \Re (x_{i})$

Ainsi la partie réelle de $x$ est un vecteur propre de $M$ ! On peut donc considérer que $x$ est à coefficients réels.

CQFD : une matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable dans une base orthonormée et ses valeurs propres sont réelles. Acx01b (discuter) 12 juillet 2014 à 05:10 (CEST)

dimension finie = matrices

J'ai regardé rapidement votre débat approche géométrique / approche algébrique. Désormais les matrices sont enseignées en terminale S et en terminale ES (au moins option maths). La grande majorité des étudiants s'intéresse donc à l'approche matricielle et rien d'autre. En gros, votre article a pour effet de perdre tous ceux qui cherchaient des trucs sur les matrices symétriques ou hermitiennes. S'il y a un autre article qui traite la diagonalisation de ces matrices, alors il faut en donner le lien le plus tôt possible dans l'article. Acx01b (discuter) 12 juillet 2014 à 16:43 (CEST)

Démonstration du théorème spectral ?

Athanatophobos 3 juin 2017

Bonjour, j'aimerais savoir si cette démonstration serait valide pour le théorème spectral ?

On sait que sur C, toute matrice est a minima trigonalisable.

A = P T P-1

On peut transformer les vecteurs colonnes de P et P-1 en base orthonormale grâce au procédé de Gram-Schmidt.

Ainsi  : A = U* T U avec U, matrice unitaire (décomposition de Schur) A* = U* T* U

Comme A est normale : AA* = A* A

Ainsi AA* = U* T U et A*A = U* T* U

L'égalité impose que AA* = A*A <-> TT* = T*T

Or une matrice triangulaire supérieure commute avec une matrice triangulaire inférieure si et seulement si elles sont diagonales. A = U D U*